2020年数学学习方法：谈特殊四边形的识别

　　特殊的平行四边形及等腰梯形式四边形的主要内容，它们的应用非常广泛。现就它们的识别条件举例说明，供同学们参考。

 

　　一、平行四边形

 

　　例1  如图1，有一矩形纸片ABCD，翻折∠B、∠D，使BC、AD恰好落在AC上。设F、H分别是B、D落在AC上的点，E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。求证：四边形AECG是平行四边形。

 

 

　　谈特殊四边形的识别

 

　　分析：要证明四边形AECG是平行四边形，题中已有条件CG∥AE，因此可考虑证明CG=AE，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”；也可以考虑证明AG∥CE，利用“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”。下面用第二种思路证明。

 

　　证明：在矩形ABCD中，因为AD∥BC，所以∠DAC=∠BCA。由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA，所以∠GAH=∠ECF，所以AG∥CE 。又因为CG∥AE，所以四边形AECG是平行四边形。

 

　　点评：平行四边形常见的判定方法还有：①两组对边分别相等的四边形；②对角线互相平分的四边形；③两组对角分别相等的四边形。运用时，要灵活选择。如果一种方法不易解出，可以尝试其他的方法。

 

　　二、矩形

 

　　例2  如图2，在△ABC中，AB=AC。AD⊥BC，垂足为点D。AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E。求证：四边形ADCE为矩形。

 

 

　　谈特殊四边形的识别

 

　　分析：要证明四边形ADCR为矩形，题设中已有两个角是直角的条件，可考虑利用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明，故只要证明∠DAE是直角即可。

 

　　证明：在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，所以∠BAD=∠DAC。因为AN是△ABC外角∠CAM的平分线，所以∠MAE=∠CAE。故∠DAE=∠DAC+∠CAE=。又因为AD⊥BC，CE⊥AN，所以四边形ADCE为矩形。

 

　　点评：矩形常见的判定方法有：①三个角是直角的四边形；②有一个角是直角的平行四边形；③两条对角线相等的平行四边形。

 

　　三、菱形

 

　　例3  如图3，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD＞CD。将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C1处，折痕DE交BC于点E。求证：四边形CDC1E是菱形。

 

 

　　谈特殊四边形的识别

 

　　分析：由于是折叠问题，因此有很多边相等、角相等，可以考虑利用“四条边都相等的四边形是菱形”来证明。

 

　　证明：由题意可知△CDE≌△C1DE，则有CD=C1D，∠C1DE=∠CDE，CE=C1E。因为AD∥BC，所以∠C1DE=∠CED。故∠CDE=∠CED，于是CD=CE。所以CD=C1D=C1E=CE，四边形CDC1E是菱形。

 

　　点评：菱形常见的判定方法有：①四条边都相等的四边形；②有一组邻边相等的平行四边形；③对角线互相垂直的平行四边形。在折叠问题中，如果有平行线的条件，一般都会有等腰三角形存在。这点应当重视。

 

　　四、正方形

 

　　例4  如图4所示，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，对角线AC与BD相交于点O。若不增加任何字母与辅助线，要使四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是          。

 

 

　　谈特殊四边形的识别

 

　　分析：这是一道开放型题目。根据已知条件知四边形ABCD是菱形，要使四边形ABCD是正方形，按其判定方法只要增加条件∠BAD=90°，或∠ABD=45°，或AC=BD等。

 

　　解：略。

 

　　点评：正方形常见的判定方法有：①有一组邻边相等的矩形；②有一个角是直角的（或对角线相等的）菱形。

 

　　五、等腰梯形

 

　　例5  如图5，在等腰△ABC中，AB=AC。BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，连接DE。求证：四边形BCDE是等腰梯形。

 

　　谈特殊四边形的识别

 

 

　　分析：要证明四边形BCDE是等腰梯形，首先要证明它是梯形，再证明其两腰相等即可。由图形知BE与CD显然不平行，因此要证明DE∥BC，可通过“同位角相等，两直线平行”来解决。要证明这个梯形是等腰梯形，可通过说明两腰相等的方法达到。

 

　　证明：在等腰△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠ACB。因为BD⊥AC，CE⊥AB，所以∠BEC=∠CDB=90°。又BC=CB，所以△BEC≌△CDB（AAS）。于是BE=CD。从而AB-BE=AC-CD，即AE=AD。所以∠AED=∠ADE。所以∠ABC=∠AED=（180°-∠A）。所以DE∥BC。而BE与CD不平行，所以四边形BCDE是梯形。又因为BE=CD，故四边形BCDE是等腰梯形。

 

　　点评：等腰梯形常见的判定方法有：①两腰相等的梯形；②同一底上的两个角相等的梯形；③对角线相等的梯形。