2020年数学学习方法:谈梯形辅助线的作法

　　梯形是一种特殊的四边形，它是平行四边形和三角形的“综合”。可以通过适当地添加辅助线，构造三角形、平行四边形，再运用三角形、平行四边形的相关知识去解决梯形问题。下面就梯形中作辅助线的常用方法作一介绍，供参考。

 

　　一、 平移一腰

 

　　过梯形的一个顶点作一腰的平行线，构造一个三角形和一个平行四边形，能使分散的条件集中起来，为解决梯形问题创造条件。

 

　　例1  如图1，等腰梯形ABCD两底之差等于一腰的长，那么这个梯形较小的一个内角是（    ）

 

　　A、90°                   B、60°                    C、45°                    D、30°

 

　

 

　　解析：由条件“两底之差等于一腰的长”，可平移一腰。如图2所示，平移DC到AE，AE交BC于E。可知BE=BC-AD=AB。又AB=DC=AE，故AB=BE=AE，△ABE是等边三角形。所以∠B=60°。故选B。

 

　　

 

　　二、平移两腰

 

　　平移两腰，使两腰交于短底上一点，把梯形转化为两个平行四边形和一个三角形，进而解决问题。

 

　　例2  如图3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC。E、F分别为AD、BC的中点，且EF⊥BC。求证：∠B=∠C。

 

　　

 

　　解析：要证∠B=∠C，可把它们移到同一个三角形中，利用等腰三角形的有关性质加以证明。

 

　　过点E作EH∥AB，EG∥DC，分别交BC于H、G（如图4）。

 

　　

 

　　∵AD∥BC，∴四边形ABHE和四边形EGCD都是平行四边形（两组对边平行）。

 

　　∴AE=BH，ED=GC。

 

　　又E、F分别为AD、BC的中点，所以AE=ED，BF=FC。

 

　　∴BH=GC，BF-BH=FC-GC，从而HF=FG。

 

　　又EF⊥BC，所以EH=EG，故∠EHF=∠EGF，得∠B=∠C。

 

　　评析：题目中若有连接两底上点的线段，通常要平移两腰。

 

　　三、平移对角线

 

　　过梯形底边的一个端点作某一条对角线的平行线，可以构造出一个三角形和一个平行四边形，引出解题思路。

 

　　例3  在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BC，且AC=5cm，BD=12cm，则梯形中位线的长等于（    ）

 

　　A、7.5cm                 B、7cm               C、6.5cm            D、6cm

 

　　解析：由对角线垂直，可平移一条对角线（比如AC），构造出Rt△BDE和ACED（如图5）。由勾股定理可知BE=13cm，从而得到梯形中位线的长等于BE的一半，即为6.5cm。故选C。

　

　　四、延长两腰

 

　　延长两腰相交于一点，可构造两个三角形，再利用这两个三角形的性质解决问题。

 

　　例4  在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD+BC=30，BD平分∠

 

　　ABC。求梯形的周长。

 

　　解析：延长两腰相交于点E，如图6，因∠ABC=∠BCD=60°，故∠E=60°。△BCE为等边三角形。又BD平分∠ABC，所以BD垂直平分CE。

 

　　所以CD=。又AD∥BC，故△ADE为等边三角形。AD=ED=CD。由AD+BC=30，知CD+2CD=30，CD=10。

 

　　∴梯形的周长为30+AB+CD=30+2CD=50。

 

　

 

　　五、作梯形的高

 

　　过梯形短底的两个端点作梯形的高，把梯形分成两个直角三角形和一个矩形，可使解题思路明朗化。

 

　　例5  已知等腰梯形的一个内角为60°，它的上底是3cm，腰长是4cm，则下底是  。

 

　　解析：如图7，梯形ABCD中，∠B=∠C=60°，AD=3cm，AB=DC=4cm，过点A、D分别作AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F。则有∠BAE=∠CDF=30°，BE=FC=AB=2cm，

 

　　∴BC=BE+EF+FC=BE+AD+FC=7（cm），即为所求。

 

　　

 

　　六、连接两腰中点

 

　　若题目中有一个或两个腰的中点，可尝试连接梯形两腰的中点，得到梯形的中位线，利用中位线的性质解题。

 

　　例6  在梯形ABCD中，AB∥CD，点M为BC的中点，DM平分∠ADC。求证AM平分∠DAB。

 

　　解析：如图8，取DA的中点N，连接MN，则MN∥CD，MN∥AB。所以∠NMD=∠MDC=∠MDN。故NM=ND=AN，∠NAM=∠NMA=∠MAB。故AM平分∠DAB。

 

　　

 

　　练习

 

　　1、等腰梯形两底差的一半等于它的高，那么这个梯形的一个内角是（    ）。

 

　　A、75°                   B、60°                    C、45°                    D、30°

 

　　2、如图9，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A+∠B=90°，M、N分别是AB、CD的中点。求证：MN=（AB-CD）。

 

 

　　2020年数学学习方法:谈梯形辅助线的作法

 

　　3、在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=8，AC=6，BD=8，求此梯形的高。

 

　　4、如图10，在梯形ABCD中，∠DCB=90°，AB∥DC，AB=25，BC=24。将该梯形折叠，点A恰好与点D重合，BE为折痕。那么，AD的长为        。

 

　　2020年数学学习方法:谈梯形辅助线的作法

 

　　5、例6变式练习：条件不变，结论改变。求证：（1）AM⊥DM；（2）AB+CD=AD。

 

　　提示：1、利用第五种作法。2、利用第二种作法，并利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3、利用第三种作法，由勾股定理逆定理得出直角三角形，并利用面积公式（a、b为直角边长，c为斜边长，h是斜边上的高）。4、先在Rt△BCD中求出DC，再自D作DF⊥AB于F。在Rt△ADF中求AD。