2020年数学学习方法：四边形的“性质与判定”

　　一、四边形的“一般与特殊”

 

　　在几何中，四边形的一般定义为四条首尾相接的线段组成的图形叫做四边形.组成四边形的四条线段.叫做四边形的四条边.按照四条边是否共面，可以把四边形分为两类四条边在同一平面内的四边形叫做平面四边形;四条边不在同一平面内的四边形叫做空间四边形.例如，把一张方形的纸铺平，它的四边就组成一个平面四边形;把这张纸沿对角线折一下，使对角线两旁的部分不在同一平面内，这张纸的四条边就组成了一个空间四边形(如图1).初中数学中主要讨论平面四边形.

 

　　平面四边形又可以进一步分为两类画出平面四边形的任意一条边所在直线时，如果整个四边形都在直线的同侧，则它是凸四边形(如图2(1));否则它是凹四边形(如图2(2)).初中数学中讨论的四边形主要是凸四边形.

 

　　四边形的“一般与特殊”，“性质与判定”

 

 

　　对于一般的四边形，四条边只要能够首尾相接即可，并无其他关于边的位置或长短的要求.梯形、平行四边形、矩形、菱形、正方形则不仅都是四边形，并且各自满足一定的附加条件.像这样满足一定附加条件的四边形称为特殊的四边形.进一步可以看出，矩形、菱形和正方形又是满足一定附加条件的平行四边形，即它们是特殊的平行四边形.

 

　　二、四边形的“性质与判定”

 

　　通常，教科书中在给出一种图形的定义后，会继续讨论由这个定义能进一步推出哪些结论，即得出这种图形的一些性质.这些性质往往是经常用到的主要性质.这种图形很可能还有一些其他性质，教科书则未曾涉及.例如，平行四边形除具有教科书中所说的“对边平行且相等”“对角相等”“对角线互相平分”等主要性质之外，还有“对角线的平方和等于四条边的平方和”这个性质.它可以证明如下.

 

　　如图3，作ABCD的高线DE，CF.利用全等三角形可以证明AE=BF.

 

　　AC2=AF2+CF2=(AB+BF)2+BC2-BF2=AB2+BC2+2AB·BF，

 

　　BD2=BE2+DE2=(AB-AE)2+DA2-AE2=AB2+DA2-2AB·AE。

 

　　∵AB=CD，AE=BF，

 

　　∴①+②，得AC2+BD2=AB2+BC2+CD2+DA2。

 

 

　　四边形的“一般与特殊”，“性质与判定”

 

　　实际上，图形的所有性质都是由图形定义所确定的.虽然定义本身并未直接表述出所有性质，定义中已经隐含了它们.故而以定义为出发点，可以逐步推导出所有性质.

 

　　图形的“性质”和“判定”，是两类不同的问题.讨论一种图形的性质，是在确定对象已经是这种图形的前提下进行的;讨论一种图形的判定，是为确定对象是这种图形而进行的.有时，在分析某个问题的过程中，两类问题都会出现，如先判定某对象是一种特定的图形.再推导出它的一些性质.

 

　　是不是只要一种图形有某条性质，就可以反过来把这条性质当成这种图形的一个判定条件呢?不是!并非一种图形的每个性质都可以拿来作为这种图形的判定条件.例如，正方形具有“对边平行，邻边相等”的性质，仅根据一个四边形满足“对边平行.邻边相等”不能判定它是正方形，而只能判定它是菱形.

 

　　，“对边平行，邻边相等.邻角相等”是正方形所独有的性质，它能作为正方形的判定条件.又如，矩形具有“对角线相等”的性质，仅根据一个四边形的“对角线相等”并不能判定这个四边形是矩形.

 

　　图4中的等腰梯形和筝形都是对角线相等的四边形，但它们不是矩形.如果一个四边形“对角线相等”且“对边平行”，则它一定是矩形，即一个四边形“对边平行，对角线相等”可以作为矩形的一个判定条件.，一种图形的判定条件，必须是只有这种图形才能够满足的条件.

 

 

　　四边形的“一般与特殊”，“性质与判定”