初中数学公式:韦达定理公式
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韦达定理公式
一元二次方程ax^2+bx+c(a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
韦达定理在更高次方程中也是可以使用的。一般的,对一个n次方程∑AiX^i=0
它的根记作X1,X2…,Xn
我们有
∑Xi=(-1)^1A(n-1)/A(n)
∑XiXj=(-1)^2A(n-2)/A(n)
…
∏Xi=(-1)^nA(0)/A(n)
其中∑是求和,∏是求积。
如果一元二次方程
在复数集中的根是,那么
法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,,人们把这个关系称为韦达定理。历史是有趣的,韦达的16世纪就得出这个定理,证明这个定理要依靠代数基本定理,而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论性。
由代数基本定理可推得任何一元n次方程
在复数集中必有根。,该方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积
其中是该方程的个根。两端比较系数即得韦达定理。
韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
定理的证明
设<math>x_1</math>,<math>x_2</math>是一元二次方程<math>ax^2+bx+c=0</math>的两个解,且不妨令<math>x_1gex_2</math>。根据求根公式,有
<math>x_1=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}}</math>,<math>x_2=frac{-b-sqrt{b^2-4ac}}</math>
所以
<math>x_1+x_2=frac{-b+sqrt{b^2-4ac}+left(-b ight)-sqrt{b^2-4ac}}=-frac</math>,
<math>x_1x_2=frac{left(-b+sqrt{b^2-4ac} ight)left(-b-sqrt{b^2-4ac} ight)}{left(2a ight)^2}=frac</math>
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