2019年中考数学一道解《多边形的内角和》题型的十种解法

在一次《多边形的内角和》的课堂上，有一个教学环节是这样设计的让学生思考任意一个四边形的内角和是多少?用这种方法能否求五边形、六边形等多边形的内角和?[1]而在课堂上，同学们给出了许多种求四边形内角和的方法，虽然有的方法不太适合推广到五边形、六边形，但其中不乏有课前我没有意料到的方法，我也没想到学生们会有如此多的方法。为了不打断学生的想法，给学生一个展示自我的机会，更为了拓展学生的思维，我抓住了这一难得的机会，充分让学生展示他们活跃的思维，而把预先准备的一些内容放到了下一节课。我不知道这样做好不好，但至少有一点，学生们主动地进行了观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动，这是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程，增强了学生学习数学的兴趣，使不同的人在数学上得到了不同的发展[2]。下面就一一列举学生们的解法，其中解法一～解法五是预先设计的。

解法一如图1，连接AC，四边形ABCD的内角和等于两个三角形内角和的和，即180°&tis;2=360°。

解法二如图2，连接AC、BD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°，即180°&tis;4-360°=360°。

解法三如图3，在四边形ABCD内取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于四个三角形内角和的和减去360°，即180°&tis;4-360°=360°。

解法四如图4，在BC边上取一点P，连接PA、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°&tis;3-180°=360°。

解法五如图5，在四边形ABCD外取一点P，连接PA、PB、PC、PD，四边形ABCD的内角和等于三个三角形内角和的和减去180°，即180°&tis;3-180°=360°。

解法六如图6，连接BD，延长BA至E，延长BC至F，∵∠EAD=∠ABD ∠BDA，∠FCD=∠CBD ∠BDC，∴四边形ABCD的内角和等于(∠EAD ∠BAD) (∠FCD ∠BCD)=180° 180°=360°。

解法七如图7，过点A、D分别作BC的平行线AE、DF，则∠EAB=∠B，∠EAD=∠ADF，∠CDF=∠C，∴四边形ABCD的内角和等于∠BAD ∠EAB (∠CDF ∠CDA)=∠BAD ∠EAB ∠ADF =∠BAD ∠EAB ∠EAD =360°。

解法八如图8，过点A、D分别作BC的垂线AE、DF，垂足分别为E、F，过点A作DF的垂线AG，垂足为G，则∠AEC=∠DFB=∠AGF=∠EAG=90°，∵∠AEC=∠B ∠BAE，∠DFB=∠C ∠CDF，∠AGF=∠DAG ∠ADF，∴四边形ABCD的内角和等于∠AEC ∠DFB ∠AGF ∠EAG=90°&tis;4=360°。