初中数学公式：积化和差公式

　　学习方法网整理了关于初中数学公式积化和差公式，希望对同学们有所帮助，仅供参考。

　　积化和差，指初等数学三角函数部分的一组恒等式。

　　公式

　　sinαsinβ=-[s（α+β）-s（α-β）]/2【注意右式前的负号】

　　sαsβ=[s（α+β）+s（α-β）]/2

　　sinαsβ=[sin（α+β）+sin（α-β）]/2

　　sαsinβ=[sin（α+β）-sin（α-β）]/2

　　证明

　　法1

　　积化和差恒等式可以通过展开角的和差恒等式的右手端来证明。

　　即只需要把等式右边用两角和差公式拆开就能证明

　　sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

　　=-1/2[(sαsβ-sinαsinβ）-(sαsβ+sinαsinβ）]

　　=-1/2[s（α+β）-s（α-β）]

　　其他的3个式子也是相同的证明方法。

　　（该证明法逆向推导可用于和差化积的计算，参见和差化积）

　　法2

　　根据欧拉公式，e^ix=sx+isinx

　　令x=a+b

　　得e^I（a+b）=e^iae^ib=(sa+isina)(sb+isinb)=sasb-sinasinb+i(sinasb+sinbsa)=s（a+b）+isin（a+b）

　　所以s(a+b)=sasb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinasb+sinbsa

　　记忆方法

　　积化和差公式的形式比较复杂，记忆中以下几个方面是难点，下面指出了特点各自的简单记忆方法。

　　【1】这一点最简单的记忆方法是通过三角函数的值域判断。sin和s的值域都是[-1，1]，其和差的值域应该是

　　[-2，2]，而积的值域确是[-1，1]，除以2是必须的。

　　也可以通过其证明来记忆，因为展开两角和差公式后，未抵消的两项相同而造成有系数2，如

　　s（α-β）-s（α+β）

　　=(sαsβ+sinαsinβ）-(sαsβ-sinαsinβ）

　　=2sinαsinβ

　　故需要除以2。

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