2022年初中数学三角函数万能公式证明

三角函数万能公式证明

由余弦定理a^2+b^2-c^2-2absC=0

正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

得 (sinA)^2+(sinB)^2-(sinC)^2-2sinAsinBsC=0

转化 1-(sA)^2+1-(sB)^2-[1-(sC)^2]-2sinAsinBsC=0

即 (sA)^2+(sB)^2-(sC)^2+2sinAsinBsC-1=0

又 s(C)=-s(A+B)=sinAsinB-sAsB

得 (sA)^2+(sB)^2-(sC)^2+2sC[s(C)+sAsB]-1=0

(sA)^2+(sB)^2+(sC)^2=1-2sAsBsC

得证

(8)(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2sAsBsC

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